77届莫斯科数学奥林匹克的一道题

起因是在公众号上刷到了苏淳教授的新书《第77-86届莫斯科数学奥林匹克》的试读，然后就看了看，八年级的第一题自我感觉很有意思，也正好发现了有趣的解法，故此记录

维佳试图找出一个算式，它是由数$1$、括号、加号和乘号构成的，使得：

1. 算式的值等于$10$；
2. 如果将算式中所有的加号都换成乘号，而所有的乘号都换成加号，算式的值仍然是$10$。 试给出这样的算式一个例子。

一开始看到题目想的是应该是从乘法入手$10=2\times 5$再考虑分别的构造，于是在考虑$2$的构造时发现了有意思的东西$1+1\times 1=1\times 1+1$，这样就得到了一个恒定为$2$的表达式，到这一步想偏了一下，考虑$5$的处理去了，但后来发现恒有$n\times 1 +1=n\ +1 \times 1$。所以对这题可以有这样的推广与解法：

对任意正整数$n$，均存在一个构造，使得他的值为$n$且替换加号乘号后值仍然为$n$

我们采用递归的方式给出构造，通过数学归纳法予以证明：

1. $n=1$时，令$f_{1}=1$，易见满足要求。

2. $n=2$时，令$f_{2}=1\times 1+1= f_{1}\times 1+1=2$，容易验证$f_{2}$满足要求。

3. 假设$n=k+1$时有$f_{k}=k$满足条件，那么令$f_{k+1}=f_{k}\times 1 + 1$，验证可知$f_{k+1}$满足要求。

这样，我们就可以递归地给出对所有正整数都满足题目条件的式子。